ANIRUDDHA ADHIKARY যখন কলেজে পড়তেন , তার বাসা থেকে কলেজের রাস্তার মধ্যখানে ধানমন্ডি-১৫ নম্বর। ওই জায়গাটাতে সবসময় কিভাবে যেন জ্যাম লেগে যেত।সে কয়েকদিন ধরে ব্যাপারটা দেখতে লাগল দাঁড়িয়ে, জ্যামটা লাগে কেন! তো সে কয়েকটা জ্যামের উপসর্গ বের করে ফেলল:

if not bus.angle == 90:
    raise JamLagbe




if left_road.rickshaw_density > 0.6:
    raise JamLagbe

সিটিবাস একটু কাত হয়ে থেকে যাত্রী উঠায়, তখন রাস্তায় সব লেন বন্ধ হয়ে জ্যাম লাগে। হাতের বাম দিকে থেকে রায়ের বাজারের ট্রাফিক আসে, ওইখানে রিক্সা বেশি থাকলে জ্যাম লাগে। ইত্যাদি।

এখন সে জ্যামের আগে সাধারণত কি কি ঘটনা ঘটে, বা জ্যাম ঘটানোর জন্য কি কি ঘটনা দায়ী তার একটা লিস্ট বানিয়ে ফেলল। এরপর একদিন তার বন্ধুর সাথে রিক্সায় যেতে যেতে বলল, “মামা দেখিস, এখনই জ্যাম লাগবে”। ও অবাক হয়ে দেখল আসলেই সব গাড়ি ঘোড়া দাঁড়িয়ে গেছে (কারণ একটা সিটিবাস যাত্রী তোলার জন্য ৪৫ ডিগ্রি অ্যাঙ্গেলে কাত হয়ে থেমে গেছে)! কিভাবে বলল? সে অবজার্ভ করে ডাটা থেকে ধরে নিয়েছিল

এরকম অনেক লক্ষণ দেখে বোঝা সম্ভব যে, জ্যাম লাগতে চলেছে। Statistics এর Regression analysis (computer এর ক্ষেত্রে বলে মেশিন লার্নিং ) এর অধিকাংশ সমস্যা কিন্তু এটাই – ডাটা থেকে সম্পর্ক বের করা (কিসের প্রভাবে আসলে ঘটনা ঘটছে) এবং সেই সম্পর্ক থেকে ভবিষ্যতে প্রেডিকশন করা। কিন্তু, জ্যামের লক্ষণ তো মাত্র এই কয়টা না, প্রত্যেকটা লক্ষণ বের করে আলাদা করে বারবার প্রোগ্রাম লেখা সম্ভব না। এরকম সমস্যা সমাধানের একটা উপায় হল ডিসিশন ট্রি, সাপোর্ট ভেক্টর মেশিন বা নিউরাল নেটওয়ার্ক ডিজাইন করা। প্রত্যেকটা টার্ম, অন্তত ডিসিশন ট্রি অবশ্যই গুগলে সার্চ করে দেখবেন 🙂

ডাউনলোড লিংক:

MP4 (২২.১ মেগা)
3GP (৯.৭ মেগা)

আজ আমরা অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাবনা বিন্যাস নিয়ে আলোচনা করবো। মনে করে দেখুন দ্বিপদ বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমাদের দৈব চলকটি একটি পরীক্ষণ n সংখ্যকবার পুনরাবৃত্তি করলে যতবার ‘সাফল্য’ আসবে তা গণনা করতো। যেমন ১২ বার টস করলে যতবার হেড উঠবে দ্বিপদ দৈব চলকটি সেটি প্রকাশ করে। লক্ষ্য করুন দৈব চলকটি ০ থেকে ১২ এর মধ্যে কেবল একটি মান গ্রহণ করতে পারে।

একই ভাবে কোন অন্তবর্তীকালীন সময়ে একটি ঘটনা যতবার ঘটে তা যে চলক দিয়ে প্রকাশ করা হয় সেই চলকটি পয়সোঁ বিন্যাস অনুসরণ করে। এই দৈব চলকটি ০ থেকে অসীম পর্যন্ত যেকোন বিচ্ছিন্ন সংখ্যা (discrete value) গ্রহণ করে। আপনার ফোনে প্রতি ঘন্টায় ২টি ফোন আসলে আগামী দুই ঘন্টায়  ৫টি ফোন আসার সম্ভাবনা আমরা পয়সোঁ বিন্যাস দিয়ে বের করতে পারবো। এরকম দৈব চলক ভগ্নাংশ মান গ্রহণ করতে পারেনা। অর্থাৎ দুই ঘন্টায় ৫.৫টি ফোন আসবে এমনটি সম্ভব নয়।

নরমাল বিন্যাস

নরমাল বিন্যাস একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের (Continuous random variable) সম্ভাবনা বিন্যাস। কোন চলক এই বিন্যাস  অনুসরণ করলে চলকটি দুটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে যেকোন একটি মান গ্রহণ করবে তার সম্ভাবনা বের করতে পারবো। আগের অভিজ্ঞতায় দেখা গিয়েছে মানুষের উচ্চতা, ভর (ওজন) এসব নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে।  বাংলাদেশের পুরুষদের উচ্চতার বিন্যাস নরমাল হলে–

• বাংলাদেশের একজন পুরুষকে যদি দৈব চয়নের মাধ্যমে নির্বাচন করা হয় তাহলে তার উচ্চতা ৫ ফুট থেকে ৫.৫ ফুটের মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?
• কিংবা সেই লোকটির ভর (ওজন) ৬০ থেকে ৭০ কিলোগ্রামের মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?

একই রকম আরো কিছু উদাহরণ চিন্তা করা যাক–

• জনমত জরিপে দেখা গেল ৫৫% উত্তরদাতা নগরসেবা বাড়ানো হবে এই শর্তে কর বাড়ানোর পক্ষে মত দিয়েছে। জরিপ থেকে প্রাপ্ত এই শতকরা মানটি প্রকৃতপক্ষে  (অর্থাৎ সেই জনগোষ্ঠীর সকলের মতামত যদি নেয়া যেতো তাহলে) ৪৫-৬৫% এর মধ্যে –তার সম্ভাবনা কত?
• নির্বাচনের আগে প্রধান দুই রাজনৈতিক দল নানা সংস্থাকে দিয়ে জরিপ পরিচালনা করে থাকে। একটি দল জরিপ করে জেনেছে তাদের পক্ষে ৪৫% জনসমর্থন আছে। জনগোষ্ঠীতে এই সংখ্যা ৪২-৪৮% এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা কত?

বাস্তবের এরকম নানা ঘটনায় নরমাল বিন্যাসের ব্যবহার দেখা যায়।

নরমাল বিন্যাস থেকে সম্ভাবনা বের করা

আগে আমরা জেনেছিলাম সম্ভাবনা বিন্যাস হলো একটি সারণি, বা একটি চিত্র, বা একটি গাণিতিক সূত্র যেখানে দৈব চলক কি কি মান গ্রহণ করতে পারে তার একটি তালিকা থাকে। সেই সাথে দৈব চলকটি যে একটি নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করবে তার সম্ভাবনাও দেয়া থাকে। যদি ভুলে গিয়ে থাকেন তাহলে লেকচার ১২ তে আবার চোখ বুলিয়ে নিন।

নরমাল বিন্যাস যেহেতু একটি অবিচ্ছিন্ন চলকের বিন্যাস, তাই এর জন্য কোন সারণি তৈরী করা বাস্তবিক অর্থে সম্ভব নয়। কেননা দৈব চলকটি নেগেটিভ অসীম থেকে ধনাত্মক অসীম পর্যন্ত যেকোন মান গ্রহণ করতে পারে। আর তাছাড়া দৈব চলকটি যেহেতু দুটি সংখ্যার ব্যবধান (Interval) –এর সম্ভাবনা বের করে তাই এই ব্যবধানের মধ্যে যেকোন একটি মান গ্রহণ করার সম্ভবনা খুবই ছোট। এত ছোট যে আমরা তাকে শূন্য বলতে পারি।

নরমাল দৈব চলকের সম্ভাবনা বিন্যাসকে এভাবে লেখা হয়।

উপরের সূত্রে মিউ, এবং সিগমা’র মান জানা থাকলে X চলকটি a এবং b এর মধ্যে হবে—তার সম্ভাবনা আমরা ইন্টিগ্রেট করে বের করতে পারবো।

এখানে মিউ এবং সিগমা নরমাল বিন্যাসের দুটি প্যারামিটার। এ দুটি প্যারামিটারের মান জানা থাকলে আমরা যেকোন নরমাল বিন্যাস থেকে সম্ভাবনা বের করতে পারবো।

উদাহরণ: পুরুষদের উচ্চতা

ধরা যাক বাংলাদেশের পুরুষদের উচ্চতা একটি দৈব চলক যা নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। এই বিন্যাসের গড় ৫.৫ এবং পরিমিত ব্যবধান (standard deviation) ০.৫. আপনি দৈব চয়নের মাধ্যমে যদি কাউকে নির্বাচন করেন তাহলে তার উচ্চতা ৫.২ ফুট থেকে ৫.৮ ফুটের মধ্যে হওয়ার সম্ভাবনা কত?

উত্তর

এখানে মিউ = ৫.৫ এবং সিগমা = ০.৫ এবং a = ৫.২ , b=৫.৮

এখন উপর সূত্রে মানগুলো বসিয়ে দিলেই সম্ভাবনা পাওয়া যাবে।

কিন্তু কাজটা সহজ নয়। ইন্টিগ্রেট করে সম্ভাবনা বের করা গেলেও মিউ এবং সিগমার অন্য মানের জন্য আমাদেরকে আবারো নতুন করে ইন্টিগ্রেট করতে হবে।

ইন্টিগ্রেশন না করে কি সম্ভাবনা বের করার কোন উপায় আছে?

হ্যাঁ, আছে। সেজন্য আমাদের নরমাল বিন্যাসের সারণি ব্যবহার করতে হবে। কিন্তু তার আগে আসুন ছবির মাধ্যমে জেনে নেই নরমাল বিন্যাস দেখতে কেমন এবং কিভাবে ছবি থেকে সম্ভাবনা বের করা যায়।

নরমাল বিন্যাস দেখতে বালির ঢিবির মত। কিংবা বলা যায় মাউন্টেইন এর মত।

বস্তা ভর্তি বালি যদি আপনি আস্তে আস্তে ঢালতে থাকেন তাহলে  যেরকম ঢিবি তৈরী হবে, নরমাল বিন্যাস দেখতে ঠিক সেরকম। নিচে (ক) চিহ্নিত ছবিটি একটি নরমাল বিন্যাসের ছবি। দেখা যাচ্ছে ছবিটির মাঝ বরাবর যে রেখাটি সেটি মিউ বা গড়। অর্থাৎ যে দৈব চলক নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে তার গড় = মিউ। ঢিবিটি কতটু উঁচু বা কতটা প্রসারিত হবে সেটি নির্ধারিত হয় সিগমা-এর মান দ্বারা। নরমাল দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান কে সিগমা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। মিউ এর মান জানা থাকলে বিন্যাসটির কেন্দ্র কোথায় তা বোঝা যায় আর সিগমা দিয়ে বিন্যাসটির আকার নির্ধারিত হয় বলে নরমাল বিন্যাসের ক্ষেত্রে মিউ এবং সিগমা-কে যথাক্রমে লোকেশন (location) এবং শেইপ (shape) প্যারামিটার বলা হয়।

কিভাবে জানবো যে একটি দৈব চলকের বিন্যাস নরমাল?

নানা ভাবেই জানতে পারি। তার মধ্যে একটি হলো অভিজ্ঞতা থেকে। যদি পূর্বাভিজ্ঞতা না থাকে তাহলে আমরা উপাত্ত (উপরে (খ) চিত্র দ্রষ্টব্য) থেকে হিস্টোগ্রাম এঁকে সেই হিস্টোগ্রামের উপর মসৃণ কার্ভ আকঁলে সেটা যদি মোটামুটি ঢিবির মতো দেখায় তাহলে আমরা বলতে পারবো যে দৈব চলকটি নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। উপরের চিত্রে (গ) অংশ দ্রষ্টব্য। হিস্টোগ্রাম সম্পর্কে জানার জন্য লেকচার ৪ অনুসরণ করতে পারেন।

স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস

লেকচার ৭ এ আমরা জেড-স্কোর নিয়ে আলোচনা করেছিলাম। আমরিকানরা জেড কে জি বলে। এজন্য জেড-স্কোরকে আমেরিকায় বলে জি-স্কোর। জেড স্কোরের কনসেপ্ট এখন আবার কাজে লাগবে।

জেড স্কোর দিয়ে আমরা উপাত্তকে স্ট্যান্ডারডাইজ করেছিলাম। তেমনি নরমাল বিন্যাসের দৈব চলককেও আমরা স্ট্যান্ডারডাইজ করব। এমনটা করার ফলে আমরা নতুন একটি নরমাল বিন্যাস পাবো যেটিকে আমরা রেফারেন্স বিন্যাস হিসেবে ব্যবহার করবো।

নরমাল বিন্যাসের একটি চলককে স্ট্যান্ডারডাইজ করে যে নতুন চলক আমরা পাবো তার বিন্যাস কে বলা হবে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস। এরকম একটি বিন্যাস থাকলে তার সারণি থেকে আমরা অতি সহজেই ইন্টিগ্রেশন না করেই সম্ভাবনা বের করতে পারবো।

অর্থাৎ X যদি নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে যার গড় মিউ এবং পরিমিত ব্যবধান সিগমা, তাহলে Z এর বিন্যাস হবে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল। এটি এমন একটি নরমাল বিন্যাস যার গড় = ০ এবং পরিমিত ব্যবধান ১.

নরমাল বিন্যাস থেকে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস

তাহলে X যদি নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে যার গড় ৫ এবং পরিমিত ব্যবধান ২, তাহলে Z হবে (X-5)/2 এবং এর বিন্যাস হবে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল যার গড় ০ এবং পরিমিত ব্যবধান ১ হবে।

ব্যাপারটা আরো ভালোভাবে বোঝার জন্য আমরা চিত্রের দিকে তাকাই।

লক্ষণীয় যে, স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাসের যে চলক সেটি আসলে জেড-স্কোর ছাড়া অন্য কিছু নয়। 

কিভাবে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস থেকে সম্ভাবনা বের করা যাবে?

এতক্ষণ আমরা জেনে গিয়েছি যে নরমাল থেকে স্ট্যান্ডার্ড নরমালে পরিণত করার জন্য আমাদেরকে পূর্বের দৈব চলক  X কে নতুন দৈব চলক Z এ পরিবর্তন করত হবে। তার জন্য আগের চলক থেকে গড় বাদ দিয়ে তাকে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করতে হবে।

এবারে আমারা দেখবো কিভাবে সম্ভাবনা বের করা যায়। এজন্য আমরা প্রথমেই জেড চলকটি নেগেটিভ দশমিক ৫ থেকে ১ এর মধ্যে হবে তার সম্ভাবনা অর্থাৎ P(-.5 < Z < 1) বের করবো। নিচের চিত্রে এটি দেখানো হলো।

সবশেষে P(Z < -.5) এবং P(Z < 1) বের করার জন্য আমরা পরিসংখ্যানের সফটওয়্যার যেমেন R ব্যবহার করতে পারি। কিংবা স্ট্যান্ডার্ড নরমাল সারণি ব্যবহার করেও সম্ভাবনা বের করতে পারি।

R ব্যবহার করে কিভাবে সম্ভাবনাগুলো বের করা যাবে তা জানতে এই লেকচার দেখুন।

আর সারণি ব্যবহার করতে চাইলে এই সারণি দেখতে পারেন।

সারণি ব্যবহার করে আমরা পাই –

P(Z < 1) = .84134

P(Z < -.5) = .30854

তাহলে,

P(-.5 < Z < 1)

= P(Z < 1) – P(Z < -.5)

= .84134 – .30854

= .5328

আজ এপর্যন্ত ই থাক। আগামী দিন খুবই ইন্টারেস্টিং কিছু বিষয় নিয় আলোচনা করবো। আমরা দেখবো ১৬ কোটি জনগোষ্ঠি থেকে মাত্র ৬০০০ হাজার জনকে বাছাই করে তাদের মতামত নিয়ে পুরো জনগোষ্ঠির (১৬ কোটির)  মতামতের প্রতিফলন ঘটনো সম্ভব কিনা।

ভালো থাকুন, আর কোন প্রশ্ন থাকলে এখানে জানান।

কুইজ

ধরা যাক বাংলাদেশের পুরুষদের উচ্চতা একটি দৈব চলক যা নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। এই বিন্যাসের গড় ৫.৫ ফুট এবং পরিমিত ব্যবধান (standard deviation) ০.৫. আপনি দৈব চয়নের মাধ্যমে যদি কাউকে নির্বাচন করেন তাহলে তার উচ্চতা ৫.২ ফুট থেকে ৫.৮ ফুটের মধ্যে হওয়ার সম্ভাবনা কত?

উত্তর: ০.৪৫১৫ বা ৪৫.১৫%

About the author

এনায়েতুর রহীম

পরিসংখ্যান নিয়ে আছি প্রায় দুই দশক -- এখনো শিখছি--পড়ে এবং পড়ানোর মাধ্যমে। ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ফলিত পরিসংখ্যানে ব্যাচেলরস, মাস্টার্স। গবেষণা মূলত গাণিতিক পরিসংখ্যান নিয়ে। বিশেষভাবে কাজ করি রিগ্রেশন মডেলে Shrinkage and Absolute Penalty Estimation নিয়ে। আরো কাজ করি পরিসংখ্যান বিষয়ক সফটওয়্যার, মন্টি কারলো, রিস্যাম্পলিং, জনস্বাস্থ্য ও এপিডেমিওলজি, এবং পরিবেশ বিষয়ক পরিসংখ্যানে। কর্মজীবন শুরু ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে শিক্ষকতার মাধ্যমে। বর্তমানে ইউনিভার্সিটি অব নর্দার্ন কলোরাডো তে ফলিত পরিসংখ্যানের সহকারী অধ্যাপক হিসেবে কর্মরত। ব্যক্তিগত সাইট।

১৮০০ সালের দিকে Degrees of Freedom বা  স্বাধীনতার মাত্রা  সম্বন্ধে সর্বপ্রথম যিনি মৌলিক ধারণা দেন তিনি হচ্ছেন জার্মান গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ কার্ল ফ্রেডরিক গাউস। এরপর ১৯০৮ সালে William Sealy Gosset তার Biometrika নামের আর্টিকেল এর "The probable error of a mean" নামের কলামে স্বাধীনতার মাত্রা (Degrees of Freedom) এর সংজ্ঞা প্রকাশ করেন । কিন্তু তিনি সেখানে সুনির্দিষ্ট ভাবে স্বাধীনতার মাত্রা (Degrees of Freedom) নামে প্রকাশ করেন নি । এরপর ১৯২২ সালে ইংরেজ পরিসংখ্যানবিদ Ronald Fisher তার Chi-square test ডেভোলপ করতে গিয়ে 'স্বাধীনতার মাত্রা' (Degrees of Freedom) শব্দটি ব্যবহার করেন । 

স্বাধীনতার মাত্রা (Degrees of Freedom) এর সংজ্ঞা এভাবে দেওয়া যায় ,

"In statistics, the number of degrees of freedom is the number of values in the final calculation of a statistic that are free to vary"

উদাহরণ দিলে ব্যাপারটা সহজে বোঝা যাবে। মনে করুন আপনি  মোট নতুন ৭ টি শার্ট উপহার পেয়েছেন । এখন আপনি চাচ্ছেন সপ্তাহে সাতদিন আপনি প্রতিদিন একটি করে নতুন শার্ট পড়বেন , মানে শনিবার এ যেটা পড়বেন সেটা অন্য কোন বারে পড়বেন নাহ । 

তাহলে শনিবার থেকে শুরু করুন , শনিবারে আপনার কাছে অপশন আছে মোট ৭ টি , রবিবারে থাকবে ৬ টি , সোমবারে ৫ টি .........। কিন্তু শুক্রবারে আপনার কাছে ১ টি ছাড়া আর কোন অপশন থাকছে না। সো আপনি মোট ৬ বার আপনার ইচ্ছে মতো নিতে পারছেন । এই ৬  হলো Degrees of Freedom বা  স্বাধীনতার মাত্রা । 

আবার ধরি, মোট ১০ টি সংখ্যা নিয়ে দেখাতে হবে যে তার যোগফল ৩০। 

এখন আমরা সংখ্যা নেয়া শুরু করলাম নিজের ইচ্ছে মত ২+৪+৩+(-২)+......... এভাবে নয়টি সংখ্যা আমরা নিজের ইচ্ছে মত নিতে পারবো কিন্তু ১০ নাম্বার সংখ্যাটি নিতে গেলে আমরা ইচ্ছে মত আর নিতে পারবো না কারণ শর্ত হচ্ছে যোগফল ৩০ হতে হবে । 

একইভাবে আমাদের যদি  n=২০  টি সংখ্যা  থাকতো তাহলে ১৯টি  ইচ্ছেমত নিতে পারতাম। কিন্তু শেষেরটি পূরণ করতে গেলে আমাদের কোন স্বাধীনতা অবশিষ্ট থাকতো না। 

অর্থাৎ আমাদের স্বাধীনতার মাত্রা এক্ষেত্রে ২০-১ =১৯
মানে n-1 হচ্ছে Degrees of Freedom

অন্যকথায় বলা যায় , 

''The number of degrees of freedom equals the number of "observations" minus the number of required relations among the observations (e.g., the number of parameter estimates). For a 1-sample t-test, one degree of freedom is spent estimating the mean, and the remaining n - 1 degrees of freedom estimate variability.''

Chi-Square Test of Independence এর জন্যে  Degrees of Freedom  (স্বাধীনতার মাত্রা):

Chi-Square Test of Independence ব্যবহার  করা হয় মূলত দুটো ক্যাটাগরিক্যাল ভেরিয়াবলস গুলা ডিপেন্ডেন্ট কিনা তা নির্ণয় করার জন্য । 

একটা ২*২ টেবিল চিন্তা করি 

এখানে আমরা ইন্ডিপেন্ডেন্টলি সর্বোচ্চ একটা মান বসাতে পারবো কারণ পরের মান গুলো টোটাল মানের উপর নির্ভর করবে । তাহলে এখানে Degrees of Freedom  (স্বাধীনতার মাত্রা) হচ্ছে ১ 

এখন যদি আমরা ৩*২ টেবিল চিন্তা করি তাহলে দেখতে পাবো 

এখানে আমরা ইন্ডিপেন্ডেন্টলি সর্বোচ্চ দুইটা মান বসাতে পারবো কারণ পরের মান গুলো টোটাল মানের উপর নির্ভর করবে।  তাহলে এখানে Degrees of Freedom  (স্বাধীনতার মাত্রা) হচ্ছে ২

এভাবে যদি আমরা বিভিন্ন  আকারের টেবিল চিন্তা করি তাহলে আমরা  একটা general pattern পাবো . একটা  table এর   r রো স  এবং c কলামস  এর জন্যে  সর্বোচ্চ  (r-1)(c-1) সংখ্যক  Degrees of Freedom  (স্বাধীনতার মাত্রা) পাবো । 

ANOVA TABLE এর  Degrees of Freedom  (স্বাধীনতার মাত্রা):

• যদি  মোট  n সংখ্যক  ডাটা পয়েন্ট থাকে  , তাহলে  Degrees of Freedom হবে  n-1
• যদি  m সংখ্যক  গ্রুপ  নিয়ে  তুলনা  করা  হয় , তাহলে  Degrees of Freedom হবে  m-1
• যদি  মোট  n সংখ্যক  ডাটা পয়েন্ট  থাকে এবং  m সংখ্যক  গ্রুপ  নিয়ে  তুলনা  করা  হয় তাহলে  error এর  Degrees of Freedom হবে  (n-1)-(m-1)=n-m

                                                                                                                       

রেফারেন্স : 

• http://blog.minitab.com/blog/statistics-and-quality-data-analysis/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
• https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/218
• wikipedia

লিখেছেন  - শাওন  শিকদার